#1. Overview

Categorical Latent Variable Modeling

• Bergman and Magnusson(1997)은 Latent class analysis가 Person-oriented approches라고 함

Categorical Latent Variable Modeling

• Latent class analysis (LCA)
• Joint latent class (JLCA)
• Latent transition analysis (LTA)
• Latent class profile analysis (LCPA)

Latent Class analysis

• latent class analysis(LCA) is statistical method for classifying individuals into population subgroups(latent classes)
• by using their responses to the manifest items.

Noatation

• 관측된 indivator variables $M$이 있다고 가정 ${\bf{Y}}=(Y_{1},...,Y_{M})$.
• 각각의 관측 변수 $Y_{m}$은 응답 categories $r_{m}$를 가질 것이다. 즉 $y_{m}=1,...,r_{m}$
• $L$은 $C$개의 Latent Classes를 대표할 것잇다. 즉 $l=1,...,C$

Likelihood

• $i$번째 개체의 The likelihood contribution은
  $$\begin{align}{P\bf{(Y=y)}}=\sum_{l=1}^{C}P\bf{(Y=y},L=l)=\sum_{l=1}^{C}\gamma_{l}\prod_{m=1}^{M}\prod_{k=1}^{r_{m}}\rho_{mk|l}^{I(y_{m}=k)},\end{align}$$
  where
• $\gamma_{l}=P(L=l)$ : the prevalence rate of latent class $l$ and
• $\rho_{mk|l}=P(Y_{m}=k|L=l)$ : $l$의 class membership이 주어졌을 때 $m$번째 item의 response $k$의 확률

The Local Independence Assumption

• LCA의 펀더멘털 가정이다. 관측변수들은 서로 독립임을 나타낸다.

Posterior probability

사후확률을 잘 이용한다

Joint Latent Class Analysis (JLCA)

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Notation of JLCA

Structure of JLCA

Likelihood

Logistic Regression on Joint class

JLCA : Summary Points

• JLCA는 다중 latent variables의 joint patterns를 파악하는데 용이하다. 전통적인 LCA는 single variable의 적은 classes를 파악했다.
• JLCA provides 추정치 for the associations that link joint class membership with suspected determinatnts.
• Our empirical analysis produces a reasonable set of latent subgroups for the observed domains of violence involvemnet and drug involvement.
• 4x3x3x3 = 108개의 가능한 폭력과 마약 행동 조합이 있다면
• 이 108개이ㅡ 조합은 청소년 남자들의 3개의 joint class 항으로 요약할 수 있다.
• 이 3개의 latent subgroups은 폭력와 마약의 패턴으로 조기 방지 프로그램 개발의 중요성을 인지하게 할수 있다.

Latent Transition Analysis

• LTA는 LCA에 longitudinal data를 적용한 확장 버전이다.
• LCA를 각 time point마다 측정한 model이다.
• Stage-sequential development는 두번 연속된 Latent class의 전이확률로 요약된다.
• first oder Markov chain을 가정한다.
• time $t$의 class membership은 오직 time $t-1$의 class membership에만 의존한다.
• 때때로 주변확률과 전이율은 흥미로운 주제이다.

Likelihood of LTA

Model Parameters

LTA:Summary Points

• LTA는 LCA에서 longitudinal data를 사용해서 확장한 버전이다.
• A latent transition은 하나의 latent subgroup에서 다른 시간으로의 이동이다.
• 시간에 따라 membership이 어떻게 바뀌는지를 확인하게 해준다.
• LTA를 하려면 longitudinal data가 필요하다.

Latent Class Profile Analysis (LCPA)

Motivation

• LCPA can characterize diffrent patterns of drinking behaviors 측면에서 a small number of classes based on responses to drinking items at each measurement occasion.
• LCPA는 early drinkers` class sequencing over the 전체 set of time points를 탐색할 수 있다. 그래서 identify two or more homogeneous subgroup.
• 예제의 목표는 early-onset drinking 의 효과가 청소년의 음주 패턴에 미치는 영향을 조사하는 것이다.

Notation

• ${\bf{Y_{t}}}=(Y_{1t},...,Y_{Mt})$ : Categorical manifest items to measure latent class at time $t$, $y_{mt}=1,...,r_{m}$.
• $C_{t}=c_{t}$:class membership at time t, $c_{t}=1,...,C$
• $L=s$:class profile membership, $s=1,2,...,S$

Likelihood

• The likelihood contribution of th $i$th individual is
  $$P({\bf{Y_{1}=y_{i1},...,Y_{T}=y_{iT}|x_{i}}})\=\sum_{s=1}^{S}\gamma_{s}({\bf{x_{i}}})\prod_{t=1}^{T}{\sum_{c_{t}=1}^{C}\eta_{c_{t}|s}^{t}\prod_{m=1}^{M}\prod_{k=1}^{r_{m}}\rho_{mkt|c_{t}}^{I(y_{imt}=k)}}$$

Model parameters

• $\rho_{mkt|c}=P(Y_{mt}=k|C_{t}=c_{t})$ : Item-response probability (Primary mesurement parameter)
• $\eta_{c_{t}|s}^{(t)}=P(C_{t}=c_{t}|L=s)$ : Conditional probability describing the relation between class profile and class membership at time $t$ (Secondary mesurement parameter)
• $\gamma_{s}({\bf{x_{i}}})=P(L=s|{\bf{x_{i}}})$ : marginal rate of latent class profile in the population

LCPA : Summary Points

• Researchers face the general issue of stage-sequential processes when dealing with many topics on behavioral studies.
• LCPA는 longitudinal 연구에서 널리 적용될 수 있다.